syakoo's Lab

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魔法陣について少し考えてみる(#1 簡単な性質)

はじめに

今作っているゲームのために魔法陣について少し考えてみた記録。数学っぽく固く書きたくないので、できるだけ砕いて説明していきます。

ここで用いる魔法陣は1~9の数字を3×3のマスに縦横斜めの和が一定になるように配置した方陣を想定しています(他の方式があるか知らないけれど)。

考えてみる命題

命題は、魔法陣を見てこういう性質があるんじゃないかっていうのを予想してまとめたものです。小さな気付きをまとめることで大きな性質が見えてくることがあるので、今回は小さな命題を用意しておきます。

それではこれらの予想が正しいか考えていきます。

証明

最初にも述べていますが、厳密な証明はしないので他サイトを参考にしてください。

1. 各行、各列の和はどの魔法陣でも同じである

まず、各行を考えてみます。 1~9の数字が一回ずつ使われているから、全部のマスの合計は


1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

です。魔法陣の定義から、各行の和は同じで3行あることから


45/3=15

各行の和は15となり、どの魔法陣でも同じであることが言えます。

各列についても同様にして、各列の和は15になり予想は正しいことが言えました。


2. 中央の数字はどの魔法陣でも同じ5である

中心の数字を特定していきます。適当な魔法陣を持ってきて、下のように文字に置き換えます。

 a  b  c
 d  e  f
 g  h  i

中心を通る縦横斜めの和は上の命題1.から


b+e+h=15


d+e+f=15

斜め


\begin{align}
a+e+i &= 15 \\
c+e+g &= 15
\end{align}

そう、全て15になりますね。そしてこれを全部足すと...


\begin{align}
(b+e+h)+(d+e+f)+(a+e+i)+(c+e+g) &=15+15+15+15 \\
a+b+c+d+4e+f+g+h+i &=60 \\
(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e &=60
\end{align}

つまり、魔法陣全体の和+中央×3になってますね!魔法陣全体の和は45なので、


\begin{align}
3e &= 15 \\
e &= 5
\end{align}

 eつまり、中央のマスは5であることが言えました。


3. どの魔法陣でも中央を挟んだ対(ペア)は同じである

まず、魔法陣の定義と証明した命題1.から


\begin{align}
{(中央を挟んだ対の和)}+{中央}=15
\end{align}

であることがどの場合でも成り立ちますね。ここから攻めていきます。 中央の数字は命題2.より5であるから、


\begin{align}
{(中央を挟んだ対の和)}+5 &= 15 \\
{(中央を挟んだ対の和)} &= 10
\end{align}

これで、対の和が必ず10になることが言えますよね。つまり、片方が決まれば対のもう片方も一つに求まるということです。 よって、どの魔法陣でも同じペアを取ることがわかりました。


おわりに

今回は簡単な魔法陣の性質について考えてみました。こういうゲームにも色々な性質があると思うと面白いですね。